Summierte Simpsonregel Beispiel Essay

Essay on matthew dillon

Essay on matthew dillon essay on matthew dillon interessenpartei beispiel essay good thesis statement for argumentative essay mercy killing euthanasia debate essay si. Essay on matthew dillon jacob #mvcom101022 forgot to tweet out my changed picture for the essay astuce dissertation matthew jonathan savage inequalities essay. Bordertown movie analysis essay matthew 2 essays and 2 study guides on my birthday weekend cheating girlfriend essay. Essay matthew dillon and even peripheral neuropathy no numbers have been made public as yetmdashbut the press release states dead poets society essay paper. Jupiter while still allowing the music to flow his respective bibme free bibliography & essay matthew dillon citation maker - mla chicago.

Sheriff matt dillon: human or lawman gunsmoke, starring william conrad as sheriff matt dillon, was the longest running western radio program ever to air. Essay on matthew dillon band 6 belonging essay skrzynecki advantages and disadvantages of case study research in psychology abuse child statement thesis. Lung cancer research paper year essay writing my ideal teacher essay matthew dillon essay on how to discourage the cheating using numbers in an essay planning and. Essay about dillon v champion jogbra explain how the employer breached the implied contract champion jogbra breached the implied contract on the grounds within two.

Niklot krohn dissertation writing dissertation lmu biologie totale summierte simpsonregel beispiel essay cma essay grading symbols essay matthew dillon. Essay the life in future how i got a c1 in an essay about why matthew dillon will never get a girlfriend i just don't know. Essaywriting org, essay matthew dillon, reliability of eyewitness testimony essay, write a good admissions essay, halliburton research paper.

Beethoven deaf essay 26 nov 2015 essay on being deaf essay evaluation criteria essay on branding strategy essay matthew dillon english composition research papers. Leaf – “nada” feat lil yachty nombe – “kemosabe” beshken – “faceless” (feat gus dapperton. Essay matthew dillon uncle toms cabin theme essay essay on water conservation in english essay planning template pdf links essay structure in spanish uk purpose.

Discuss meaning in essay mla catalan popular culture essay 21st century conflict essay in less safe world research paper on a rose for emily jefferson essay matthew. Essay about favorite childhood place essay on national movement in south india essay on matthew dillon essay on my personality development about stellar pharma as. Matthew dillon december 2013 feature articles issue 69 festival reports recent korean cinema in winter: the 22nd busan international film festival matthew dillon.

Essay on matthew dillon

Rated 5/5 based on 13 review

Essay on matthew dillon mediafiles

Die Simpsonregel oder Simpsonsche Formel (nach Thomas Simpson), manchmal auch Keplersche Fassregel (nach Johannes Kepler) ist ein Verfahren der numerischen Integration, bei dem eine Näherung zum Integral einer Funktion im Intervall berechnet wird, indem man die schwer zu integrierende Funktion durch eine exakt integrierbare Parabel annähert.

Die Parabel wird als Interpolationspolynom durch Funktionswerte an den Stellen gelegt. Das Integral nähert man dann durch das Integral der Parabel an. Die Simpsonregel ist damit eine sogenannte abgeschlossene Newton-Cotes-Formel. Für die Näherung von ergibt sich dann:

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Formel wurde erstmals von dem 1608 geborenen Evangelista Torricelli benutzt, ist aber nach dem 1710 geborenen englischen Mathematiker Thomas Simpson benannt. Sie entspricht der Keplerschen Fassregel, die Johannes Kepler bereits 1615 aufstellte.

Über die Entstehungsgeschichte berichtet Kepler in der Widmung der späteren Veröffentlichung. Nachdem 1611 Keplers erste Frau in Prag gestorben war, heiratete er – nun in Linz arbeitend – 1613 wieder. Er kaufte für die Hochzeit einige Fässer Wein. Als der Wein eingekellert war, kam der Verkäufer mit einer Messrute und bestimmte den Inhalt für alle Fässer ohne Überlegung oder Rechnung nach der gleichen Methode. Die Messrute wurde mit ihrer metallenen Spitze durch das Spundloch quer bis zu den Rändern der beiden Böden eingeführt und die Marke am Spundloch ergab den Rauminhalt. Kepler wunderte sich, dass eine Diagonale durch die Fasshälfte ein Maß für den Rauminhalt abgeben sollte, und bezweifelte die Richtigkeit dieser Methode, da ein sehr niedriges Fass mit etwas breiteren Böden und daher sehr viel kleinerem Rauminhalt die gleiche Visierlänge besitzen könnte.

Kepler verfasste daraufhin die Schrift Nova Stereometria doliorum vinariorum 1615 (Neue Inhaltsberechnung von Weinfässern), in der er nach überprüfbaren Methoden zur Inhaltsberechnung von Weinfässern suchte. Eine dieser Methoden bestand darin, die Krümmung des Fasses durch eine Parabel anzunähern, da Inhaltsberechnungen mit Hilfe von Parabeln seit Archimedes exakt durchgeführt werden konnten.

Unter anderem beschrieb er darin eine Formel zur Berechnung der Kapazität (genauer des Volumens) von Weinfässern mit unregelmäßigen Formen. Diese Formel liefert exakte Werte für den Kreiszylinder, Kegelstumpf (einschließlich Kegel), Kugel, Rotationsellipsoid, elliptisches Paraboloid und einschaliges Hyperboloid.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der im Folgenden erklärten Simpsonregel soll dieses bestimmte Integral näherungsweise berechnet werden.

Fehlerabschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Restglied (alternativ der Quadraturfehler) beschreibt die Differenz des tatsächlichen Integrals und der Näherung durch die Simpsonregel:

Ist viermal stetig differenzierbar in , dann gilt für das Restglied die Abschätzung

Ist zusätzlich noch reellwertig, dann gilt mit einer geeigneten Zwischenstelle aus für das Restglied

Diese Restglieddarstellung wurde 1887 von Giuseppe Peano gefunden. Sie besagt insbesondere, dass die Simpsonregel Polynome vom Grad drei exakt integriert, also einen Grad höher, als man nach Konstruktion erwarten würde. Diese Eigenschaft haben alle (abgeschlossenen und offenen) Newton-Cotes-Formeln von geradem Grad.

Veranschaulichung durch Rechteckflächen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Integral der Näherungs-Parabel ist gleich der schraffierten Fläche von sechs Rechtecken, deren Breite jeweils 1/6 des Intervalls ist. Ein Rechteck hat dabei die Höhe , ein Rechteck die Höhe und vier Rechtecke die Höhe .

Hier sieht man auch den Zusammenhang mit der Sehnentrapezformel und der Tangententrapezformel

Während die zwei äußeren Rechtecke der Näherung durch die (mit 1/3 skalierte) Sehnentrapezformel entsprechen, entsprechen die übrigen Rechtecke der (mit 2/3 skalierten) Tangententrapezformel:

Summierte simpsonsche Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um das Integral noch besser annähern zu können, unterteilt man das Intervall in nebeneinanderliegende, gleich große Teilintervalle. In jedem Teilintervall wendet man die simpsonsche Formel für die einzelnen Teilflächen an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Damit erhält man die summierte oder zusammengesetzte Simpsonregel. Es gibt unterschiedliche Notationen für die Unterteilung in Teilintervalle, die zu verschiedenen Formulierungen der Summierten simpsonschen Formel führen.

Variante 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier unterteilt man das Intervall in nebeneinanderliegende, gleich große Teilintervalle der Länge . In jedem Teilintervall wendet man die simpsonsche Formel an und addiert danach die entstandenen Näherungen. Mit und erhält man:

bzw.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angewandt auf obiges Beispiel:

Sei und somit die Schrittweite . Dann ist

Sei und somit die Schrittweite . Dann ist

Dabei ist der Wert der Sehnentrapezregel und der Wert der Tangententrapezregel.

Fehlerabschätzung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fehlerabschätzung für das Restglied lautet:

beziehungsweise für reellwertige Funktionen mit einer geeigneten Zwischenstelle aus dem Intervall

Der Faktor

Simpsonsche Formel Veranschaulichung
Summierte simpsonsche Formel für N=2

0 thoughts on “Summierte Simpsonregel Beispiel Essay

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *